数据结构 集合_集合实例(集合覆盖)

2017-12-03 13:25:21来源:cnblogs.com作者:IDreamo人点击

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集合覆盖是一种优化求解问题,对很多组合数学和资源选择问题给出了很好的抽象模型。 问题如下:给定一个集合S,集合P由集合S的子集A1到An组成,集合C由集合P中的一个或多个子集组成。如果S中的每个成员都包含在C的至少一个子集中则称集合C覆盖集合S。此外,C包含的P的子集越少越好。

设想从一大群选手中挑选人员组建一支队伍,每名选手都拥有特定的技能组合。目标是组建出一只最小的队伍,使得队伍整体拥有一组特定的技能组合。也就是说,对于队伍整体所需要的技能,队伍中至少有一名选手必须拥有这项技能。假定S为队伍所必须拥有的技能集合,P为所有待选选手的技能集合。从P中挑选出一些技能组合以构成C,C必须覆盖S中所要求的所有技能。重要一点,我们选择的选手数量必须尽可能少。

针对集合覆盖的算法是一种近似算法,它并不总是获得最优解。该算法的工作原理是:

不断从P中选出一个集合,使其能够覆盖S中最多的成员数量。换句话说,该算法每次都尝试尽可能早覆盖S中更多的成员,因此该算法采用了贪心法的思路。由于每个集合都是从P中选出的,如果P被移除,则它的成员也将从S中移除。当P中剩余的成员没有任何集合能够覆盖S中的成员时,此时覆盖集合C就完成了。

让我们看看对于12种技能的集合S={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l}的最佳覆盖集。现在考虑有7名待选选手的集合P={A1,...A7}。P中选手拥有的技能集合为:A1={a,b,c,d},A2={e,f,g,h},A3={j,k,l},A4={a,e},A5={b,f,g},A6={c,d,g,h,k,l},A7={l}。最佳覆盖集应该是C={A1,A2,A3}。这里给出的算法选择的集合是C={A6,A2,A1,A3}(见图1)。

集合覆盖问题的函数实现

我们使用函数cover,该函数在集合P的子集A1~An中挑选出能够覆盖集合S的近似最优解。该函数有3个参数:

1、members是待覆盖的集合S;

2、subsets是集合P中的子集;

3、covering作为返回的覆盖集C。

该函数将修改所传入的3个参数,因此在调用该函数时,如果有必要话应该保存一份参数的拷贝。

函数执行过程:开始时,covering通过调用set_init先得到初始化。

我们使用循环进行迭代,只要members中还有未覆盖的成员,且subsets中的子集还没有挑选完,最外层的循环就得继续迭代。

在这个循环中,每次迭代时它都在subsets中找出能够覆盖到members的最大交集。

然后它将这个集合加到覆盖集covering中并把它的成员从members中移除(因为这些成员已经被覆盖,下一次迭代将判断剩余的成员能否被覆盖)。在循环的最后,将所选择的这个集合从subsets中移除(已经选中的要移除)。如果最外层的循环因为members不为空而终止迭代,则表示subsets中的集合不可能满足完全覆盖members的要求。同样,如果在迭代期间subsets中的成员无法与members的成员形成交集,则同样表示subsets中的成员无法满足完全覆盖members的要求。函数cover如果找到了一个完全覆盖解,该函数返回0,参数covering指向这个完全覆盖解;如果不可能实现完全覆盖,则返回1;其他情况返回-1。

cover的复杂度为O(m3),这里的m代表members集合中的初始成员个数。在最坏的情况下,对于members中的每一员,subsets中都只有唯一一个子集与之对应,此时的复杂度是O(m3)。在这种情况下,subsets有 m个子集,set_intesection以O(m)的复杂度执行,因为当计算和members求交集时,subsets的每个子集都只有唯一一个个成员需要遍历。因此cover的内层循环是O(m2)的,而这个循环要执行m次。

示例1:集合覆盖问题的头文件

#ifndef COVER_H#define COVER_H#include "set.h"typedef struct KSet_{    void *key;    Set set;}KSet;int cover(Set *member, Set *subsets, Set *covering);#endif 

 示例2:集合覆盖问题的函数实现

#include <stdlib.h>#include "cover.h"#include "list.h"#include "set.h"int cover(Set *members, Set *subsets, Set *covering){    Set intersection;    KSet *subset;    ListElmt *member,*max_member;    void *data;    int max_size;        /*初始化覆盖集covering*/    set_init(covering,subsets->match,NULL);        while(set_size(members)>0 && set_size(subsets)>0)    {        /*找到能够覆盖最多members成员的子集*/        max_size = 0;        for(member = list_head(subsets);member!=NULL;member=list_next(member))        {            if(set_intersection(&intersection, &((KSet *)list_data(member))->set, members) != 0)                return -1;                        if(set_size(&intersection)>max_size)            {                max_member = member;                max_size = set_size(&intersection);            }                        set_destroy(&intersection);        }        /*如果不存在交集,那么就不可能有覆盖集*/        if(max_size==0)            return 1;                /*将被选到的子集插入覆盖集covering中*/        subset = (KSet *)list_data(max_member);                if(set_insert(covering,subset) != 0)            return -1;                /*从members中移除已经被覆盖的元素*/        for(member=list_head(&((Kset *)list_data(max_member))->set);member != NULL;            list_next(member))        {            data = list_data(member);            if(set_remove(members,(void **)data)== 0 && members->destroy != NULL)                members->destroy(data);        }                /*从子集集合中删除已经被选用的子集*/        if(set_remove(subsets,(void **)&subset) != 0)            return -1;    }        /*如果members中仍然存在未被覆盖的元素,那么也不可能实现完全覆盖*/    if(set_size(members)>0)        return -1;        return 0;}

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