NOIP2013 货车运输 [LCA+最大生成树]

2018-01-26 19:43:10来源:cnblogs.com作者:CrazyDave人点击

分享

Description

A 国有 n 座城市,编号从 1 到 n,城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制,简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物, 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下,最多能运多重的货物。

Input

输入文件第一行有两个用一个空格隔开的整数 n<10,000,m<50,000,表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。 接下来 m 行每行 3 个整数 x、 y、 z,每两个整数之间用一个空格隔开,表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。
接下来一行有一个整数 q<30,000,表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行,每行两个整数 x、y,之间用一个空格隔开,表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市。

Output

输出共有 q 行,每行一个整数,表示对于每一辆货车,它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地,输出-1。

Example

Input :
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3

Output :
3
-1
3

思路

首先便是想到了Floyd的暴力方法,状态转移方程也不难推出:w[i][j]=min(w[i][j], w[i][k]+w[k][j]);但是n^3次方时间复杂度和n^2的空间复杂度是显然不可取的。

于是我们思考,可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边,就算有其他的很多条边,这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉,按照这个思路我们便想到了构造最大生成树,将其余的边去除。

得到了这样一个树之后,我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值(即为题中的最大载重),因为这两点之间的路径是唯一的,我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点,我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索,求出节点深度等信息,然后利用这些信息进行树上倍增。

于是我们可以得出大体思路:首先重新建图,构造出最大生成树,然后在最大生成树上求LCA来回答询问。

代码

#include<cstdio>  #include<algorithm>  #include<cstring>  #include<iostream>  #define MAXN 10005 #define INF 999999999using namespace std; struct Edge1{      int x,y,dis;}edge1[50005]; //题目所给的图 struct Edge2{    int to,next,w;}edge2[100005]; //最大生成树的图 int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21];//f数组表示并查集中的父节点,fa数组表示树上的父节点,w数组表示最大载重 bool vis[MAXN]; void addedge(int from, int to, int w){ //前向星存图     edge2[++cnt].next=head[from];    edge2[cnt].to=to;    edge2[cnt].w=w;    head[from]=cnt;    return ;}bool CMP(Edge1 x, Edge1 y){    return x.dis>y.dis; //将边权从大到小排序 }int find(int x){  //并查集寻找父节点     if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);    return f[x];}void kruskal(){    sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP);     for(int i=1; i<=n; i++)        f[i]=i;  //并查集初始化     for(int i=1; i<=m; i++)        if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){            f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y);            addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis);            addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis);  //无向图,双向加边         }    return ;}void dfs(int node){    vis[node]=true;    for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){ //前向星遍历         int to=edge2[i].to;        if(vis[to]) continue;        deep[to]=deep[node]+1; //计算深度         fa[to][0]=node; //储存父节点         w[to][0]=edge2[i].w; //储存到父节点的权值         dfs(to);    }    return ;}int lca(int x, int y){    if(find(x)!=find(y)) return -1; //不连通,输出-1     int ans=INF;    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); //保证y节点更深     //将y节点上提到于x节点相同深度     for(int i=20; i>=0; i--)        if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){            ans=min(ans, w[y][i]);  //更新最大载重(最小边权)             y=fa[y][i]; //修改y位置         }    if(x==y) return ans; //如果位置已经相等,直接返回答案     //寻找公共祖先     for(int i=20; i>=0; i--)        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){            ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i])); //更新最大载重(最小边权)            x=fa[x][i];             y=fa[y][i]; //修改x,y位置         }    ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));    //更新此时x,y到公共祖先最大载重,fa[x][0], fa[y][0]即为公共祖先     return ans;}int main(){    int x,y,z,q;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1; i<=m; i++){        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        edge1[i].x=x;        edge1[i].y=y;        edge1[i].dis=z;    } //储存题目所给图     kruskal();    for(int i=1; i<=n; i++)        if(!vis[i]){ //dfs收集信息             deep[i]=1;             dfs(i);            fa[i][0]=i;            w[i][0]=INF;        }    //LCA初始化     for(int i=1; i<=20; i++)        for(int j=1; j<=n; j++){            fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];             w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]);        }    scanf("%d",&q);    for(int i=1; i<=q; i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        printf("%d/n",lca(x,y)); //回答询问     }    return 0;} 

最新文章

123

最新摄影

闪念基因

微信扫一扫

第七城市微信公众平台