欧拉函数详解

2018-01-27 11:14:32来源:cnblogs.com作者:自为风月马前卒人点击

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欧拉函数

我们用$/phi(n)$表示欧拉函数

定义:$/phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

性质

1.$/phi(n)$为积性函数

2.$/sum_{d|n}/phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*/dfrac{/phi(n)}{2}(n>1)$

计算方法

$/sqrt(n)$计算单值欧拉函数

假设我们需要计算$/phi(n)$

分情况讨论

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

2.当$n$为质数时

根据素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

3.当$n$为合数时

我们已经知道了$n$为素数的情况

不妨对$n$进行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$/phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥,与一个数互素的数的个数就是这个数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$....$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

当$k/neq 1$时

$$/phi(n)$$

$$=/varphi /left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}/ldots }_{2}a^{Pk}_{k}/right)$$

$$=/prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=/prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-/dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*/prod ^{k}_{i=1}(1-/dfrac {1}{p_{i}})$$

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#define LL long long using namespace std;int main(){    LL N;    while(cin>>N&&N!=0)    {        int limit=sqrt(N),ans=N;        for(int i = 2; i <= limit ; ++i)        {            if(N%i==0) ans=ans/i*(i-1);            while(N%i==0) N=N/i;        }        if(N>1) ans=ans/N*(N-1);        printf("%d/n",ans);    }    return 0;}

线性筛

因为欧拉函数是积性函数

因此可以使用线性筛法

性质1

若$p$为素数,则$/varphi /left( p/right) =p-1$

证明:

在$1-p$中,只有$(p,p)/neq1$

性质2

若$i mod p /neq  0$,且$p$为素数

则$/varphi /left( i*p/right) =/varphi /left( i/right) */varphi /left( p/right)$

$=/varphi /left( i/ast p/right) =/varphi /left( i/right) /ast /left( p-1/right)$

这一步同时利用了性质1和欧拉函数的积性

性质3

若$i mod p = 0$,且$p$为素数,

则$/varphi /left( i/ast p/right) =/varphi /left( i/right) /ast p$

证明:

没怎么看懂,丢一个链接

http://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#define LL long long using namespace std;const int MAXN=1e6+10;int prime[MAXN],tot=0,vis[MAXN],phi[MAXN],N=10000;void GetPhi(){    for(int i=2;i<=N;i++)    {        if(!vis[i])        {            prime[++tot]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++)        {            vis[ i*prime[j] ] = 1;             if(i%prime[j]==0)            {                phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*prime[j];                break;            }            else phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*(prime[j]-1);        }    }}int main(){    GetPhi();    cin>>N;    printf("%d/n",phi[N]);    return 0;}

例题

放两道水题

http://poj.org/problem?id=2407

题解

http://poj.org/problem?id=2478

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