MatrixTree速成

前言

MatrixTree定理是用来解决生成树计数问题的有利工具

比如说这道题

MatrixTree定理的算法流程也非常简单

我们记矩阵/(A/)为无向图的度数矩阵
记矩阵/(D/)为无向图的邻接矩阵

/(A/)矩阵是除了对角线之外各个点值都为/(0/)的矩阵，/(A[i][i]/)表示/(i/)号点的度数

/(D/)矩阵记录两点之间的度数，/(D[i][j]/)表示/(i/)号点与/(j/)号点之间的边数

MatrixTree定理

我们记矩阵/(G=A-D/)
那么/(G/)的所有不同生成树的个数等于/(G/)的任何一个 /(n-1/) 阶主子式的行列式的绝对值

实现

MatrixTree定理的实现非常简单

1. 计算出/(D/)矩阵
2. 后对其进行高斯消元
3. 把消元后的矩阵的对角线乘起来
4. 输出

代码

就是上面那道题目的代码

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;const int MAXN=3001;const double eps=1e-12;inline int read(){    char c=getchar();int x=0,f=1;    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}    return x*f;}double G[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];char s[MAXN][MAXN];int xx[5]={0,-1,+1,0,0};int yy[5]={0,0,0,-1,+1};int N,M;int dcmp(int x){    if(x<=eps||x>=-eps) return 0;    else return x<0?-1:1;}void Gauss(){    N--;    for(int i=1;i<=N;i++)//每一行     {        int mx=i;        for(int j=i+1;j<=N;j++)//下面的每一行             if(dcmp(G[mx][i]-G[j][i])<0) mx=j;        if(mx!=i) swap(G[i],G[mx]);        if(!G[i][i]) {printf("0/n");return ;}        for(int j=i+1;j<=N;j++)        {            double t=G[j][i]/G[i][i];            for(int k=i;k<=N+1;k++)                G[j][k]-=t*G[i][k];        }    }    double ans=1;    for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans*G[i][i];    printf("%.0f/n",abs(ans));}int main(){      int T=read();    while(T--)    {        memset(G,0,sizeof(G));        N=read(),M=read();        for(int i=1;i<=M;i++)        {            int x=read(),y=read();            G[x][x]++;G[y][y]++;            G[x][y]--;G[y][x]--;        }        Gauss();      }    return 0;  }