次小生成树

2018-02-22 10:48:47来源:cnblogs.com作者:自为风月马前卒人点击

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次小生成树

次小生成树

我们已经熟知了求最小生成树的方法,用kruskal,prim算法都可以搞
那么我们如何求次小生成树呢?
这里次小生成树的定义是

边权和严格大于最小生成树的边权和最小的生成树

求解方法

次小生成树嘛,肯定和最小生成树脱不了关系
那么我们首先求出最小生成树

接下来,一个比较显然的思路是
枚举每一条未加入最小生成树的边,加入最小生成树,同时在最小生成树中删除边权最大的边
如果你想到了这里并写出了代码,那么恭喜你
你在里成功还有一步之遥成功掉进坑里了
比如下面的例子

蓝边表示最小生成树中的边,黄边表示新加入的边
在这种情况下,如果仅仅记录最大值的话,得到的答案一定是错的
所以我们还要记录严格小于最大值的最大值
当产生冲突的时候我们需要删除严格小于最大值的最大值

优化

但是这样效率太低了,每一次查询都是/(O(n)/)的
有没有更好的方法呢?

不要忘了,最小生成树它是一棵树呀
树的链上最大最小值操作,你想到了什么?

没错!树上倍增

我们在倍增的过程中记录下最大值和严格小于最大值的最大值

这样每次查询的复杂度就变成/(log(n)/)啦

总结

流程

整个算法的流程大概是

  1. 求出最小生成树
  2. 构造出倍增数组
  3. 每次树上倍增查询

时间复杂度

用kruskal是/(O(m/log m+Q/log (n))/)
用prim是/(O(n/log n+Q/log (n))/)
Q为询问次数

代码

放一道裸题

// luogu-judger-enable-o2#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#define int long long using namespace std;const int MAXN=400001;const int INF=1e15+10;inline int read(){    char c=getchar();int x=0,f=1;    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}    return x*f;}struct Edge{    int u,v,w;}E[MAXN];int Enum=1;void Add(int x,int y,int z){    E[Enum].u=x;    E[Enum].v=y;    E[Enum].w=z;Enum++;}struct node{    int u,v,w,nxt;}edge[MAXN];int head[MAXN];int num=1;int N,M;int fa[MAXN],vis[MAXN],sum;int deep[MAXN],f[MAXN][21],maxx[MAXN][21],minx[MAXN][21];void AddEdge(int x,int y,int z){    edge[num].u=x;    edge[num].v=y;    edge[num].w=z;    edge[num].nxt=head[x];    head[x]=num++;}int find(int x){    if(fa[x]==x) return fa[x];    else return fa[x]=find(fa[x]);}int unionn(int x,int y){    int fx=find(x),fy=find(y);    fa[fx]=fy;}int comp(const Edge &a,const Edge &b){    return a.w<b.w;}void Kruskal(){    sort(E+1,E+Enum,comp);    int tot=0;    for(int i=1;i<=Enum-1;i++)    {        int x=E[i].u,y=E[i].v;        if(find(x)!=find(y))         {            unionn(x,y),tot++,sum+=E[i].w,vis[i]=1;            AddEdge(x,y,E[i].w);AddEdge(y,x,E[i].w);        }        if(tot==N-1) break;    }}void dfs(int now,int fa){    for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)    {        if(edge[i].v==fa) continue;        deep[edge[i].v]=deep[edge[i].u]+1;        f[edge[i].v][0]=now;        maxx[edge[i].v][0]=edge[i].w;        dfs(edge[i].v,now);    }}void pre(){    for(int i=1;i<=18;i++)    {        for(int j=1;j<=N;j++)        {            f[j][i]=f[ f[j][i-1] ][i-1];            maxx[j][i]=max(maxx[j][i-1],maxx[ f[j][i-1] ][i-1]);            minx[j][i]=max(minx[j][i-1],minx[ f[j][i-1] ][i-1]);            if(maxx[j][i-1]>maxx[ f[j][i-1] ][i-1]) minx[j][i]=max(minx[j][i],maxx[ f[j][i-1] ][i-1]);            else minx[j][i]=max(minx[j][i],maxx[j][i-1]);        }    }}int LCA(int x,int y){    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);    for(int i=18;i>=0;i--)        if(deep[ f[x][i] ] >= deep[y] )             x=f[x][i];    if(x==y) return x;    for(int i=18;i>=0;i--)        if(f[x][i] != f[y][i])            x=f[x][i],y=f[y][i];    return f[x][0];}int findmax(int x,int lca,int val){    int ans=0;    for(int i=18;i>=0;i--)    {        if(deep[ f[x][i] ] >= deep[lca])         {            if(maxx[x][i]==val) ans=max(ans,minx[x][i]);            else ans=max(ans,maxx[x][i]);            x=f[x][i];        }    }    return ans;}void work(){    int ans=INF;    for(int i=1;i<=Enum-1;i++)    {        if(vis[i]) continue;        int x=E[i].u,y=E[i].v,z=E[i].w;        int lca=LCA(x,y);        int lmx=findmax(x,lca,z);        int rmx=findmax(y,lca,z);        if(max(lmx,rmx)!=z)        ans=min(ans,sum+z-max(lmx,rmx));    }    printf("%lld",ans);}main(){      #ifdef WIN32    freopen("a.in","r",stdin);    #else    #endif    N=read(),M=read();    memset(head,-1,sizeof(head));    for(int i=1;i<=N;i++) fa[i]=i;    for(int i=1;i<=M;i++)    {        int x=read(),y=read(),z=read();        Add(x,y,z);    }    Kruskal();    deep[1]=1;    dfs(1,0);    pre();    work();    return 0;  }  

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