网络最大流算法—EK算法

2018-01-12 21:17:14来源:cnblogs.com作者:自为风月马前卒人点击

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前言

EK算法是求网络最大流的最基础的算法,也是比较好理解的一种算法,利用它可以解决绝大多数最大流问题。

但是受到时间复杂度的限制,这种算法常常有TLE的风险

思想

还记得我们在介绍最大流的时候提到的求解思路么?

对一张网络流图,每次找出它的最小的残量(能增广的量),对其进行增广。

没错,EK算法就是利用这种思想来解决问题的

实现

EK算法在实现时,需要对整张图遍历一边。

那我们如何进行遍历呢?BFS还是DFS?

因为DFS的搜索顺序的原因,所以某些毒瘤出题人会构造数据卡你,具体怎么卡应该比较简单,不过为了防止大家成为这种人我就不说啦(#^.^#)

所以我们选用BFS

在对图进行遍历的时候,记录下能进行增广的最大值,同时记录下这个最大值经过了哪些边。

我们遍历完之后对这条增广路上的边进行增广就好啦

代码

题目在这儿

代码里面我对一些重点的地方加了一些注释,如果我没写明白的话欢迎在下方评论:blush:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<queue>using namespace std;const int MAXN=2*1e6+10;const int INF=1e8+10;inline char nc(){    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}inline int read(){    char c=nc();int x=0,f=1;    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}    return x*f;}struct node{    int u,v,flow,nxt;}edge[MAXN];int head[MAXN];int num=0;//注意这里num必须从0开始 inline void add_edge(int x,int y,int z){    edge[num].u=x;    edge[num].v=y;    edge[num].flow=z;    edge[num].nxt=head[x];    head[x]=num++;}inline void AddEdge(int x,int y,int z){    add_edge(x,y,z);    add_edge(y,x,0);//注意这里别忘了加反向边 }int N,M,S,T;int path[MAXN];//经过的路径int A[MAXN];//S到该节点的最小流量inline int EK(){    int ans=0;//最大流     while(true)//不停的找增广路    {        memset(A,0,sizeof(A));         queue<int>q;//懒得手写队列了。。。         q.push(S);        A[S]=INF;        while(q.size()!=0)        {            int p=q.front();q.pop();            for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)            {                if(!A[edge[i].v]&&edge[i].flow)                {                    path[ edge[i].v ]=i;//记录下经过的路径,方便后期增广                     A[edge[i].v]=min(A[p],edge[i].flow);//记录下最小流量                     q.push(edge[i].v);                }            }            if(A[T]) break;//一个小优化         }        if(!A[T]) break;//没有可以增广的路径,直接退出        for(int i=T;i!=S;i=edge[path[i]].u)//倒着回去增广         {            edge[path[i]].flow-=A[T];            edge[path[i]^1].flow+=A[T];//利用异或运算符寻找反向边,0^1=1 1^1=0         }        ans+=A[T];     }    return ans;}int main(){    #ifdef WIN32    freopen("a.in","r",stdin);    #else    #endif     memset(head,-1,sizeof(head));    N=read(),M=read(),S=read(),T=read();    for(int i=1;i<=M;i++)    {        int x=read(),y=read(),z=read();        AddEdge(x,y,z);     }     printf("%d", EK() );     return 0;}

性能分析

通过上图不难看出,这种算法的性能还算是不错,

不过你可以到这里提交一下就知道这种算法究竟有多快(man)了

可以证明,这种算法的时间复杂度为$O(n*m^2)$

大体证一下:

我们最坏情况下每次只增广一条边,则需要增广$m-1$次。

在BFS的时候,由于反向弧的存在,最坏情况为$n*m$

总的时间复杂度为$O(n*m^2)$

后记

EK算法到这里就结束了。

不过loj那道题怎么才能过掉呢?

这就要用到我们接下来要讲的其他算法

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